Las matemáticas descubren que la belleza de los pétalos de las rosas contiene una geometría única en la naturaleza

La naturaleza y los humanos tienen soluciones distintas para enfrentarse a las superficies planas en un mundo que es tridimensional. Entre las plantas, el crecimiento desigual de sus hojas o sus tejidos provoca la aparición de curvaturas que alivian la tensión, o se romperían. Un ejemplo son las arrugas de las lechugas en su borde. Hasta ahora, la llamada morfogénesis vegetal planar se explicaba con el teorema egregio, una teoría geométrica postulada por el matemático Carl Friedrich Gauss hace dos siglos. Pero las rosas siguen su propio principio geométrico. Un trabajo publicado en el último número de Science muestra cómo sus pétalos, en origen curvos, acaban siendo como aristas cortantes mediante un mecanismo nunca observado en el mundo natural hasta ahora.

El teorema egregio no se formuló para explicar los patrones observados en la naturaleza. En su versión corta, Gauss lo formuló así: “Si una superficie curva se desarrolla sobre cualquier otra superficie, la medida de la curvatura en cada punto permanece inalterada”. Esto tiene muchas consecuencias en el terreno de las matemáticas y la física. Pero hay una cercana que permite captarlo: la imposibilidad de plasmar de forma fiel el globo terráqueo en un plano. Las zonas de los polos aparecerían exageradamente grandes. En esos mapas tanto los paralelos como los meridianos son líneas rectas, cuando en realidad son curvas y circulares. Esta frustración geométrica también se produce en el mundo vegetal y rige la tensión entre forma y crecimiento.

Michael Mose, del Instituto Racah de Física de la Universidad Hebrea de Jerusalén y coautor de la investigación con las rosas, pone dos ejemplos para explicar el punto de partida y lo que han logrado. Un ejemplo es el de la zanahoria. Durante su crecimiento, la parte interior se expande más que las capas exteriores, lo que genera tensión interna. Al cortarla en cuatro trozos a lo largo, enseguida se curvan hacia afuera, relajando esa tensión. “El crecimiento de la zanahoria provocó en este caso una incompatibilidad geométrica, es decir, una forma preferida que no se puede lograr”, dice Mose. El otro ejemplo se acerca más al misterio de las rosas. Si los bordes de una hoja crecen más rápido que el centro, las distancias entre los puntos de la hoja deberían tender a una geometría curva. Pero la lámina mantiene un grosor uniforme, lo que impide que se doble. “El resultado es frustración: la lámina intenta doblarse y mantenerse plana al mismo tiempo, una contradicción. Esto se conoce como incompatibilidad de Gauss y explica la forma de casi todas las hojas y las flores”, destaca el físico.

Sin embargo, las rosas son una excepción a esta norma. A diferencia de la suavidad de los contornos del resto de las flores (generalmente curvos), sus pétalos son muy particulares. Los más jóvenes e interiores son planos y curvados. Pero al crecer de forma desigual se produce una frustración geométrica y lo que era curvo se convierte en aristas triangulares. “Sus formas características, especialmente las cúspides afiladas en los bordes, no pueden explicarse por principios geométricos conocidos como la incompatibilidad de Gauss”, sostiene el físico israelí.

Apoyados en modelos por ordenador, flores artificiales y el cultivo de rosas de la variedad red baccara, con sus más de cuarenta pétalos de un rojo oscuro, los investigadores pudieron confirmar que cumplen su propio principio geométrico. La forma del pétalo se rige por un tipo de frustración geométrica diferente a la de Gauss, procede de la violación de una serie de ecuaciones conocidas como de Mainardi-Codazzi-Peterson (MCP). También del ámbito matemático de la geometría de superficies curvas, estas ecuaciones describen cómo la flexión de una superficie debe tener una transición suave de un punto a otro para evitar desgarros y pliegues antinaturales en el espacio tridimensional. “La rosa es, hasta donde sabemos, el único sistema natural conocido moldeado por esta forma de incompatibilidad, pero podría no ser el último”, dice Mose. Demuestran así que los pétalos de las rosas crecen de forma simple, uniforme y simétrica; nada en su patrón de crecimiento sugiere la forma final. “Sin embargo, este crecimiento provoca incompatibilidad MCP, lo que genera tensiones internas. Estas tensiones, uniformes, doblan el pétalo hasta alcanzar una forma que concentra las tensiones y la curvatura en puntos arbitrarios, modelando los bordes del pétalo en sus icónicas formas de cúspide”, termina el físico del Instituto Racah.

En un comentario también publicado por Science, los investigadores en ingeniería mecánica de la Universidad de la Ciudad de Hong Kong, Lishuai Jin y Qinghao Cui, recuerdan que no solo la genética o el entorno afectan al crecimiento y a la forma, también influyen los límites que impone la geometría. En cuanto a sus implicaciones, más allá de la estética de las rosas, recuerdan que buena parte del diseño de materiales actual se basa en la incompatibilidad de Gauss, por ejemplo la fabricación de los neumáticos. Y terminan destacando los caminos que abre un estudio sobre la frustración geométrica de los pétalos de las rosas: “Aprovechar la incompatibilidad de Mainardi-Codazzi-Peterson podría permitir cambios de forma localizados y programables sin requerir variaciones a gran escala en las distancias superficiales. Y la combinación de las incompatibilidades de Gauss y Minardi-Codazzi-Peterson podría dar lugar a comportamientos de deformación aún no observados”.