Das Geheimnis der sich drehenden Zeiger, ein fünfzig Jahre altes mathematisches Problem, endlich gelöst

Mathematiker haben ein Talent dafür, einfache Fragen zu stellen, deren Lösung Jahre dauern kann. Zwei von ihnen haben gerade ein Problem gelöst, das vor fünfzig Jahren gestellt wurde, dessen Ursprung aber auf einer über hundert Jahre alten Vermutung beruht. 1917 schrieb der japanische Mathematiker Soichi Kakeya (1886-1947) untersuchte die Oberflächen, die eine Nadel auf einem Tisch überstreicht, und fragte sich, welche die kleinste sein würde. Der erste Reflex bestand darin, die Nadel um den Mittelpunkt der Nadel zu drehen, die eine Scheibe bedeckte. Die zweite Idee bestand darin, eine Bewegung von 60 Grad an einem Punkt auszuführen, dann 60 Grad in die entgegengesetzte Richtung am anderen Punkt und schließlich eine letzte Bewegung von 60 Grad: Dies führt zu ein gleichseitiges Dreieck mit einer kleineren Oberfläche als die Scheibe. Kakeya selbst fand eine Strategie, die doppelt so effektiv war wie die der Scheibe, mit einer deltaförmigen Oberfläche, einem Dreieck, dessen Seiten nach innen gekrümmt sind.

Zwei Jahre später machte der Russe Abram Besicovitch (1891–1970) dem Spiel ein Ende, indem er eine Methode fand, mit der sich die Oberfläche beliebig reduzieren ließ. Eine Variante eines anderen Mathematikers erreichte dasselbe Ergebnis mit Oberflächen, die wie Büsche mit Stacheln gespickt waren. 1928 gelang Besicovitch sogar ein noch besseres Ergebnis: Er zeigte, dass es möglich war, eine Oberfläche zu konstruieren, die alle möglichen Nadelrichtungen enthielt und deren Fläche … null war! Um diese Kuriosität zu verstehen, sei daran erinnert, dass für Mathematiker ein Punkt, die Kakeya-Nadel (ein Segment) oder eine gekrümmte Linie keine Fläche haben. Eine sehr enge Spirale kann daher eine Scheibe bedecken, ohne dass ihre Oberfläche null ist. Wir werden darauf zurückkommen.

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